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知识点：
视频教学：
练习：
1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析 ∵|a|＝2，|b|＝2，
∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝12.又〈a，b〉∈(0°，90°)，
?
∴〈a，b〉＝60°.
答案 B
2．(2014·珠海模拟)已知→＝(1,5，－2)，→＝(3,1，z)，若→⊥→，→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
337，－157，4 407，－157，4
407，－2,4 D．4，407，－15
解析 ∵→⊥→，∴→·→＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，→＝(3,1,4)，则x－1＋5y＋6＝0，3x－1＋y－12＝0，)解得x＝(407157).
答案 B
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )
&
10)10 30)10
15)10 10)10
解析 建立空间直角坐标系如图．
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．
→＝(－1,0,2)，→＝(－1,2,1)，
cos〈→，→〉＝BC1→)→)BC1→)→)＝30)10.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为30)10.
·
答案 B
4．在90°的二面角的棱上有A，B两点，AC、BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB，已知AB＝5，AC＝3，CD＝52，则BD＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 由条件知AC⊥AB，BD⊥AB，AC⊥BD，
又→＝→＋→＋→，
∴→2＝(→＋→＋→)2
＝|→|2＋|→|2＋|→|2
）
＝32＋52＋|→|2＝(52)2，
∴|→|2＝16，∴BD＝4.
答案 A
5．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为( )
3)2 5)2
10)5 10)10
课件：
教案：
【教学目标】
１、知识与技能：
1．在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念，为进一步运用打好基础
2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系
3．能够运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题
4．能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。
２、过程与方法：
1.让学生经历将点、线、面的位置关系转化为空间向量的关系的过程，体会转化、化归
思想
2.让学生经历将直线、平面的夹角及距离问题转化为直线的方向向量与平面的法向量
问题的过程，体会转化、化归思想
3.让学生经历利用向量的坐标将几何问题代数化的过程；
３、情感、态度与价值观：
通过空间向量在立体几何中的的应用，感受数学的美感，从而激发学数学、用数学的热情。
【教学重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用．
【教学难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式．
【教学过程】
一、复习引入
前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用。这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法。为此，首先简单回顾一下用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题（化为向量问题）；
2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题（进行向量运算）；
3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回到图形）。
二、新课讲解
1.空间两点之间的距离
教学过程：例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
学情预设：请学生根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式
或
(其中
）
将两点距离问题转化为求向量模长问题，进而求解
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么由这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
学情预设：（1）是与本题类似的问题，学生很容易给出答案，（2）是本例的逆向问题，学生可拓展本题的思路，给出答案，（3）是比本例更复杂的问题，给学生一定的思考时间，由教师适时点拨，引导学生将求两个平行平面的距离，归结为求两点间的距离
2.点面距
【教学过程】P是平面α外的一个点，PO⊥平面α，垂足为O，则点P到平面α的距离就是线段PO的长度。
探究一：如何求PO的长度？
若A是平面α上的任意一点，连接AP，得到平面α的一条斜线段AP，∠PAO即线面所成角，记为，则
，
，
，其中
为平面α的法向量。
【学情预设】学生小组讨论，教师适时点拨，引导学生联系线面所成角部分的知识，降低思维难度，再请一位学生回答如何求PO的长度，教师板书过程，推导出点面距公式。
【教学过程】 例2如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离
探究二：向量法求点到平面的距离
解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．
由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
设平面EFG的一个法向量为
答:点B到平面EFG的距离为
【学情预设】让学生尝试用几何法做，发现相当困难,但注意到坐标系建立后各点坐标容易得出,又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算,而法向量总是可以快速算出，进而由老师引导学生利用向量法求点面距离.
练习1:
练习(用向量法求距离):
1.
如图,是矩形,
平面
,
,
,
分别是
的中点,求点
到平面
的距离.
【学情预设】：巩固坐标法求点面距离
3.异面直线距
教学过程：已知a,b是异面直线，n为a的法向量，CD为a,b的公垂线
A，B分别在直线a,b上，则
即 间的距离可转化为向量
在
上的射影长
取x=1,则y=-1,z=1,所以
【学情预设】：由于异面直线之间的距离大纲已不做要求，因此通过一个启发练习让学生简单地对此块内容进行了解，教师逐步引导，使学生初步感受到异面直线间的距离也可以转化为点面距离，线面距离的求法留给有兴趣的学生进行课后探索。
三、小结
1、E为平面α外一点,F为α内任意一点, F为平面α的法向量,则点E到平面的
距离为:
2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点, 是a,b公垂线的方向向量,
则a,b间距离为
四、作业布置
课本P121 第 2、6 题
五、板书设计：
课题 例1 例3 问题 例2 |
六、教学反思：
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